prev
next
Hotline: 0974.626.115
Hỗ trợ tư vấn tuyển sinh
Trụ sở chính : 0964.626.115 - 0937.626.115
Số 81, ngõ 70, đường Phạm Thận Duật, phường Bích Đào, TP. Ninh Bình
Văn phòng tiếp nhận hồ sơ tại Tp HCM : 0983.995.116 - 0974.626.115
Số 168 bis Đường Phan Văn Trị, Phường 5, Quận Gò Vấp, Tp HCM
Văn phòng tiếp nhận hồ sơ tại Hà Nội : 0947.626.115 - 0937.626.115
Số 28, đường Vườn Cam, phường Phú Đô, quận Nam Từ Liêm, TP. Hà Nội T2-CN: 8h-18h
Đăng ký tư vấn trực tuyến
Lý thuyết về đạo hàm và công thức đạo hàm lớp 11
Công thức đạo hàm lớp 11 là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong môn Giải tích. Nó giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự biến thiên của một hàm số tại một điểm cụ thể. Đạo hàm cũng là công cụ hữu hiệu để giải quyết nhiều bài toán trong các lĩnh vực khác nhau như vật lý, kinh tế,...
|
[MỤC LỤC]
|
Công thức đạo hàm lớp 11
1. Đạo hàm là gì?
Đạo hàm là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực giải tích. Nó được sử dụng để mô tả tốc độ thay đổi của một hàm số tại một điểm cụ thể. Nói cách khác, đạo hàm cho biết hàm số đang tăng lên, giảm xuống hay không đổi tại một điểm nào đó trên đồ thị của nó.
Hình dung đơn giản về đạo hàm
Đạo hàm như độ dốc của đường: Nếu bạn tưởng tượng đồ thị của một hàm số như một con đường, thì đạo hàm tại một điểm chính là độ dốc của con đường tại điểm đó. Nếu đường dốc lên, đạo hàm dương; nếu đường dốc xuống, đạo hàm âm; nếu đường bằng phẳng, đạo hàm bằng 0.
Đạo hàm như vận tốc: Trong vật lý, đạo hàm của quãng đường theo thời gian chính là vận tốc. Vận tốc tức thời tại một thời điểm chính là đạo hàm của hàm quãng đường tại thời điểm đó.
Đạo hàm như vận tốc: Trong vật lý, đạo hàm của quãng đường theo thời gian chính là vận tốc. Vận tốc tức thời tại một thời điểm chính là đạo hàm của hàm quãng đường tại thời điểm đó.
Định nghĩa toán học
Cho hàm số y = f(x), đạo hàm của hàm số tại điểm x = x₀ được ký hiệu là f'(x₀) và được định nghĩa như sau:
f'(x₀) = lim(h -> 0) [f(x₀ + h) - f(x₀)] / h
Nếu giới hạn này tồn tại thì ta nói hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x₀.
f'(x₀) = lim(h -> 0) [f(x₀ + h) - f(x₀)] / h
Nếu giới hạn này tồn tại thì ta nói hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x₀.
Ý nghĩa của đạo hàm
Tốc độ thay đổi: Đạo hàm cho biết tốc độ thay đổi của hàm số tại một điểm cụ thể.
Cực trị: Các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số xảy ra tại những điểm mà đạo hàm bằng 0.
Độ dốc tiếp tuyến: Đạo hàm tại một điểm chính là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm đó.
Ứng dụng: Đạo hàm được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như vật lý, kinh tế, kỹ thuật,... để giải quyết các bài toán liên quan đến tốc độ thay đổi, tối ưu hóa.
Cực trị: Các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số xảy ra tại những điểm mà đạo hàm bằng 0.
Độ dốc tiếp tuyến: Đạo hàm tại một điểm chính là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm đó.
Ứng dụng: Đạo hàm được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như vật lý, kinh tế, kỹ thuật,... để giải quyết các bài toán liên quan đến tốc độ thay đổi, tối ưu hóa.
Ví dụ
Giả sử ta có hàm số y = x². Đạo hàm của hàm số này tại điểm x = 2 là:
f'(2) = lim(h -> 0) [(2 + h)² - 2²] / h = 4
Điều này có nghĩa là tại điểm x = 2, đồ thị hàm số y = x² có độ dốc bằng 4.
f'(2) = lim(h -> 0) [(2 + h)² - 2²] / h = 4
Điều này có nghĩa là tại điểm x = 2, đồ thị hàm số y = x² có độ dốc bằng 4.
Đạo hàm
2. Các công thức đạo hàm lớp 11 cơ bản
Công thức đạo hàm lớp 11: Đạo hàm của các hàm số cơ bản
Hàm hằng: Nếu f(x) = c (c là hằng số) thì f'(x) = 0.
Hàm số mũ:
(x^n)' = n*x^(n-1)
(e^x)' = e^x
Hàm số logarit:
(lnx)' = 1/x
Hàm số lượng giác:
(sin x)' = cos x
(cos x)' = -sin x
(tan x)' = 1/cos²x
(cot x)' = -1/sin²x
Quy tắc tính đạo hàm
Đạo hàm của tổng, hiệu:
(u ± v)' = u' ± v'
Đạo hàm của tích:
(u.v)' = u'.v + u.v'
Đạo hàm của thương:
(u/v)' = (u'.v - u.v') / v²
Hàm số mũ:
(x^n)' = n*x^(n-1)
(e^x)' = e^x
Hàm số logarit:
(lnx)' = 1/x
Hàm số lượng giác:
(sin x)' = cos x
(cos x)' = -sin x
(tan x)' = 1/cos²x
(cot x)' = -1/sin²x
Quy tắc tính đạo hàm
Đạo hàm của tổng, hiệu:
(u ± v)' = u' ± v'
Đạo hàm của tích:
(u.v)' = u'.v + u.v'
Đạo hàm của thương:
(u/v)' = (u'.v - u.v') / v²
Ví dụ
Tìm đạo hàm của hàm số f(x) = 3x² + 2x - 1
f'(x) = (3x²)' + (2x)' - (1)' = 6x + 2
Tìm đạo hàm của hàm số g(x) = sin(x) * cos(x)
g'(x) = (sin x)' * cos x + sin x * (cos x)' = cos²x - sin²x
Tham khảo: Những ngôi sao xa xôi
f'(x) = (3x²)' + (2x)' - (1)' = 6x + 2
Tìm đạo hàm của hàm số g(x) = sin(x) * cos(x)
g'(x) = (sin x)' * cos x + sin x * (cos x)' = cos²x - sin²x
Tham khảo: Những ngôi sao xa xôi
Đạo hàm
3. Ứng dụng của đạo hàm trong cuộc sống
Đạo hàm là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong giải tích. Nó không chỉ là một công cụ toán học thuần túy mà còn có rất nhiều ứng dụng thực tế trong cuộc sống.
Vật lý
Vận tốc và gia tốc: Đạo hàm của quãng đường theo thời gian cho ta vận tốc tức thời, đạo hàm của vận tốc theo thời gian cho ta gia tốc.
Lực: Lực tác dụng lên một vật tại một thời điểm chính là đạo hàm của động lượng theo thời điểm đó.
Điện từ học: Đạo hàm được sử dụng để mô tả sự biến thiên của cường độ dòng điện, điện áp,...
Lực: Lực tác dụng lên một vật tại một thời điểm chính là đạo hàm của động lượng theo thời điểm đó.
Điện từ học: Đạo hàm được sử dụng để mô tả sự biến thiên của cường độ dòng điện, điện áp,...
Kinh tế
Tối ưu hóa lợi nhuận: Các doanh nghiệp sử dụng đạo hàm để tìm điểm sản xuất tối ưu, giúp lợi nhuận đạt mức cao nhất.
Phân tích thị trường: Đạo hàm giúp phân tích sự biến động của giá cả, cung và cầu trên thị trường.
Nghiên cứu thị trường: Dự báo xu hướng phát triển của thị trường dựa trên các mô hình toán học sử dụng đạo hàm.
Phân tích thị trường: Đạo hàm giúp phân tích sự biến động của giá cả, cung và cầu trên thị trường.
Nghiên cứu thị trường: Dự báo xu hướng phát triển của thị trường dựa trên các mô hình toán học sử dụng đạo hàm.
Kỹ thuật
Cơ học: Đạo hàm được sử dụng để tính toán lực, mô men, gia tốc trong các hệ thống cơ học.
Điện tử: Đạo hàm được sử dụng để phân tích các mạch điện, tính toán các đại lượng điện.
Điều khiển tự động: Đạo hàm giúp thiết kế các hệ thống điều khiển tự động chính xác.
Điện tử: Đạo hàm được sử dụng để phân tích các mạch điện, tính toán các đại lượng điện.
Điều khiển tự động: Đạo hàm giúp thiết kế các hệ thống điều khiển tự động chính xác.
Toán học
Khảo sát hàm số: Đạo hàm giúp ta xác định các điểm cực trị, khoảng đơn điệu của hàm số, từ đó vẽ đồ thị hàm số chính xác hơn.
Tìm nghiệm của phương trình: Đạo hàm giúp tìm nghiệm của các phương trình bằng phương pháp Newton-Raphson.
Chứng minh các định lý: Nhiều định lý trong toán học được chứng minh bằng cách sử dụng đạo hàm.
Tìm nghiệm của phương trình: Đạo hàm giúp tìm nghiệm của các phương trình bằng phương pháp Newton-Raphson.
Chứng minh các định lý: Nhiều định lý trong toán học được chứng minh bằng cách sử dụng đạo hàm.
Các lĩnh vực khác
Y học: Mô hình hóa sự phát triển của bệnh tật, dự đoán diễn biến bệnh.
Sinh học: Mô hình hóa sự tăng trưởng của quần thể, sự biến đổi của các hệ sinh thái.
Khoa học máy tính: Tối ưu hóa thuật toán, xử lý ảnh.
Sinh học: Mô hình hóa sự tăng trưởng của quần thể, sự biến đổi của các hệ sinh thái.
Khoa học máy tính: Tối ưu hóa thuật toán, xử lý ảnh.
Đạo hàm
4. Bài tập áp dụng công thức đạo hàm lớp 11
Bài tập cơ bản
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
y = 3x² + 2x - 1
y = 5x³ - 2x² + x
y = 1/x
y = √x
y = sin(2x)
y = e^x
Tìm tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x² tại điểm có hoành độ x = 2.
y = 3x² + 2x - 1
y = 5x³ - 2x² + x
y = 1/x
y = √x
y = sin(2x)
y = e^x
Tìm tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x² tại điểm có hoành độ x = 2.
Bài tập vận dụng
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x³ - 3x² + 1 trên đoạn [-1; 3].
Cho hàm số y = x⁴ - 2x². Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Một vật chuyển động theo quy luật s(t) = t³ - 3t² + 2 (mét), với t là thời gian tính bằng giây. Tìm vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 2 giây.
Cho hàm số y = x⁴ - 2x². Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Một vật chuyển động theo quy luật s(t) = t³ - 3t² + 2 (mét), với t là thời gian tính bằng giây. Tìm vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 2 giây.
Bài tập nâng cao
Chứng minh rằng hàm số y = x³ + 3x + 1 luôn đồng biến trên R.
Tìm các điểm cực trị của hàm số y = x⁴ - 4x³ + 3x.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sinx + cosx.
Tìm các điểm cực trị của hàm số y = x⁴ - 4x³ + 3x.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sinx + cosx.
Gợi ý giải
Bài tập cơ bản: Áp dụng trực tiếp các công thức đạo hàm cơ bản.
Bài tập vận dụng: Sử dụng đạo hàm để tìm cực trị, khoảng đơn điệu của hàm số, viết phương trình tiếp tuyến.
Bài tập nâng cao: Kết hợp nhiều kiến thức về đạo hàm, khảo sát hàm số, bất đẳng thức.
Trên đây là một số thông tin về các công thức đạo hàm lớp 11. Hi vọng các bạn sẽ có cho mình thông tin hữu ích.
Bài tập vận dụng: Sử dụng đạo hàm để tìm cực trị, khoảng đơn điệu của hàm số, viết phương trình tiếp tuyến.
Bài tập nâng cao: Kết hợp nhiều kiến thức về đạo hàm, khảo sát hàm số, bất đẳng thức.
Trên đây là một số thông tin về các công thức đạo hàm lớp 11. Hi vọng các bạn sẽ có cho mình thông tin hữu ích.
Tin tức liên quan
Điều Dưỡng Y Hà Nội: Ngành Học Mới Với Cơ Hội Việc Làm Rộng Mở
Ngành Điều dưỡng từ lâu đã đóng vai trò nòng cốt trong hệ thống chăm sóc sức khỏe. Tại Hà Nội, Trường Y Dược Tôn Thất Tùng là một trong những cơ sở đào tạo uy tín chuyên sâu về ngành Điều dưỡng y Hà Nội, thu hút đông đảo sinh viên từ khắp nơi trên cả nước.
Trường tôn thất tùng thông báo kế hoạch năm 2023
Trong năm 2023 Trường Y Dược Tôn Thất Tùng có môt số thay đổi lớn về đào tạo tuyển sinh với mục đích giúp cho các em học sinh, sinh viên học tập tại trường đạt được những thành quả tốt nhất vì thế trường đã đưa ra một số thay đổi về cơ sở vật chất, phương thức đào tạo, tuyển sinh . mong các em học sinh sinh viên sau khi tốt nghiệp đạt được những thành quả tốt nhất trong công việc .
GIỚI THIỆU VỀ TRƯỜNG TRUNG CẤP Y – DƯỢC TÔN THẤT TÙNG
Trường Trung cấp Y – Dược Tôn Thất Tùng thành lập theo quyết định số 429/QĐ-UBND của UBND tỉnh Ninh Bình. Trường là cơ sở giáo dục nghề nghiệp thuộc hệ thống giáo dục quốc dân, có địa vị pháp lý, chức năng, nhiệm vụ và quyền hạn như các trường TCCN khác trong hệ thống giáo dục quốc dân. Trường chịu sự quản lý nhà nước về giáo dục của Bộ Giáo dục và Đào tạo, chịu sự quản lý nhà nước của UBND tỉnh Ninh Bình.
